Графический метод решения злп онлайн. Графический метод решения задач линейного программирования

Пример 6.1.

Решение:

Задача линейного программирования задана в стандартной форме и имеет два проектных параметра, следовательно

Воз-можно ее решение геометрическим методом.

1 этап: ( ОДР ).

Рассмотрим первое ограничение, заменим знак неравенства знаком равенства и выразим переменную х2 через х1 :

.

Аналогично определяем точки для остальных ограничений системы и строим по ним прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 1). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.

2 этап: .

Определим полуплоскости – решения каждого из неравенств.

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений задачи. Возьмем какую-либо точку (контрольную точку), не принадлежащую соответствующей данному неравенству прямой, например, точку (0; 0). Подставим ее в рассматриваемое неравенство:

При подстановке координат контрольной точки неравенство остается справедливым. Следовательно, множество точек, принадлежащих данной прямой (т.к. неравенство не строгое), а также расположенных ниже ее, будут являться решениями рассматриваемого неравенства (пометим на графике (рис. 1) найденную полуплоскость двумя стрелками направленными вниз рядом с прямой I ) .

Аналогично определяем решения других неравенств и соответственно помечаем их графике. В результате график примет следующий вид:

3 этап: .

Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) при пересечении образуют многоугольник ABCDEO , который и является ОДР рассматриваемой задачи.

Рис. 1. Область допустимых решений задачи

4 этап:
Вектор-градиент показывает направление максимизации целевой функции . Определим его координаты: координаты начальной его точки (точки приложения) – (0; 0), координаты второй точки:

Построим данный вектор на графике (рис. 2).

5 этап: .

Рассмотрим целевую функцию данной задачи:

.

Зададим ей какое-либо значение, к примеру, . Выразим переменную х2 через х1 :

.

Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:

Построим прямую соответствующую целевой функции (рис. 2).

Рис. 2. Построение целевой функции F(X) и вектора-градиента С

6 этап: определение максимума целевой функ-ции .

Перемещая прямую F (X ) параллельно са-мой себе по направлению вектора-градиента, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 3), такой точкой является точка С ­– точка пересечения прямых I и II .

Рис. 3. Определение точки максимума целевой функции F(X)

Определим координаты точки С, с этой целью, решим сле-дующую систему линейных уравнений:

Подставим найденные координаты в целевую функцию и найдем ее оптимальное (максимальное) значение:

Ответ: при заданных ограничениях макси-мальное значение целевой функции F (Х )=24, которое достигается в точке С, координаты которой х1 =6, х2 =4.

Пример 6.2. Решить задачу линейного про- граммирования геометрическим методом:

Решение:

Этапы 1-3 аналогичны соответствующим этапам предыдущей задачи.
4 этап: построение вектора-градиента.
Построение вектора-градиента осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче. Построим данный вектор на графике (рис. 4). Отметим также на данном графике стрелкой направление, обратное вектору-градиенту, – направление минимизации целевой функцииF (X ).

5 этап: построение прямой целевой функ-ции .

Построение прямой целевой функции F (X ) осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче (результат построения приведен на рис. 4).

Рис. 4. Построение целевой функции F(x) и вектора-градиента С

6 этап: определение оптимума целевой функ-ции .

Перемещая прямую F (x ) параллельно са-мой себе в направлении, обратном вектору-градиенту, опреде-ляем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5), та- кой точкой является точка О с координатами (0; 0).

Рис. 5. Определение точки минимума целевой функции

Подставляя координаты точки минимума в целевую функ-цию, определяем ее оптимальное (минимальное) значение, которое равно 0.
Ответ: при заданных ограничениях минимальное значение целевой функции F (Х )=0, которое достигается в точке О (0; 0).

Пример 6.3. Решить следующую задачу ли-нейного программирования геометрическим методом:

Решение:

Рассматриваемая задача линейного программирования задана в канонической форме, выделим в качестве базисных переменные x 1 и x 2 .

Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана- Гаусса базисные переменныеx 1 и x 2 .

Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со вто-рой:
.

Умножим вторую строку на :

.

Сложим вторую с первой строкой:

.

В результате система ограничений примет следующий вид:

Выразим базисные переменные через свободные:

Выразим целевую функцию также через свободные перемен-ные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:

Запишем полученную задачу линейного программирования:

Так как переменные x 1 и x 2 неотрицательные, то полученную систему ограничений можно записать в следующем виде:

Тогда исходную задачу можно записать в виде следующей эк- вивалентной ей стандартной задаче линейного программирования:

Данная задача имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим мето-дом.

1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений ( ОДР ).

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного програм-мирования (для удобства пронумеруем неравенства):

Построим прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 6). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схе-ме.

2 этап: определение решения каждого из нера-венств системы ограничений .

С помощью контрольных точек определим полуплоскости – решения каждого из неравенств, и пометим их на графике (рис. 6) с помощью стрелок.

3 этап: определение ОДР задачи линейного про- граммирования .

Найденные полуплоскости (т.е. решения каждого из неравенств системы ограничений) не имеют общего пересечения (так решения неравенства I противоречат в целом остальным неравенствам системы ограничений), следовательно, система ограничений не совместна и задача линейного программирования в силу этого не имеет решения.

Рис. 6. Фрагмент MathCAD-документа:

построение области допустимых решений задачи

Ответ: рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

Если после подстановки координат контрольной точки в неравенство его смысл нарушается, то решением данного неравенства является полуплоскость не содержащая данную точку (т.е. расположенная по другую сторону прямой).

Направление, обратное вектору-градиенту, соответствует направлению минимизации целевой функции.

Наиболее простым и наглядным методом решения задачи линейного программирования (ЗЛП) является графический метод. Он основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется при решении ЗЛП с двумя неизвестными:

Будем рассматривать решение этой задачи на плоскости. Каждое неравенство системы функциональных ограничений геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой а п х, + + a j2 х 2 = b n i = 1, т. Условия неотрицательности определяют полуплоскости с граничными прямыми х { = 0, х 2 = 0 соответственно. Если система совместна, то полуплоскости, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек; координаты каждой из этих точек являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, ограниченным и неограниченным многоугольником.

Геометрически ЗЛП представляет собой отыскание такой угловой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости.

Определим, какую часть плоскости описывает неравенство 2х { + Зх 2 12.

Во-первых, построим прямую 2х, + Зх 2 = 12. Она проходит через точки (6; 0) и (0; 4). Во-вторых, определим, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству. Для этого выбираем любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставляем ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет неравенству. Для подстановки в неравенство удобно использовать начало координат. Подставим х { = х 2 = 0 в неравенство 2х, + Зх 2 12. Получим 2 0 + 3 0

Аналогично графически можно изобразить все ограничения задачи линейного программирования.

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений (ОДР) или областью определения.

Необходимо помнить, что область допустимых решений удовлетворяет условиям неотрицательности (Xj > 0, j = 1, п). Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи.

Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении ЗЛП используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая c [ x l + с 2 х 2 = f(x 0), перпендикулярная вектору-градиенту, является линией уровня целевой функции (рис. 2.2.2). В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Рис. 2.2.2.

Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в д р у г у ю сторону - только убывает.

Графический метод решения ЗЛП состоит из четырех этапов:

• 1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.
• 2. Строится вектор-градиент целевой функции (ЦФ) с началом в точке х 0 (0; 0): V = (с, с 2).
• 3. Линия уровня CjXj + с 2 х 2 = а (а - постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору-градиенту V, - передвигается в направлении вектора-градиента в случае максимизации целевой функции f(x v х 2) до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. При минимизации /(*, х 2) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Крайняя точка (или точки) ОДР при этом движении и является точкой максимума (минимума) f(x p jc 2).

Если прямая, соответствующая линии уровня, при своем движении не покидает ОДР, то минимума (максимума) функции f(x р х 2) не существует.

Если линия уровня целевой функции параллельна функциональному ограничению задачи, на котором достигается оптимальное значение ЦФ, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

4. Определяются координаты точки максимума (минимума). Для этого достаточно решить систему уравнений прямых, дающих в пересечении точку максимума (минимума). Значение f(x { , х 2), найденное в полученной точке, является максимальным (минимальным) значением целевой функции.

Возможные ситуации графического решения ЗЛП представлены в табл. 2.2.1.

Таблица 2.2.1

Вид ОДР	Вид оптимального решения
Ограниченная	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
Неограниченная	ЦФ не ограничена снизу
	ЦФ не ограничена сверху
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений
	Единственное решение
	Бесконечное множество решений

Пример 2.2.1. Планирование выпуска продукции пошивочного предприятия (задача о костюмах).

Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат; на мужской - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человекодней трудозатрат.

Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 ден. ед., а от мужского - 20 ден. ед. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Экономико-математическая модель задачи

Переменные : х, - число женских костюмов; х 2 - число мужских костюмов.

Целевая функция :

Ограничения :

Первое ограничение (по шерсти) имеет вид х { + 3,5х 2 х { + 3,5х 2 = 350 проходит через точки (350; 0) и (0; 100). Второе ограничение (по лавсану) имеет вид 2х { + 0,5х 2 2х х + 0,5х 2 = 240 проходит через точки (120; 0) и (0; 480). Третье ограничение (по труду) имеет вид х у +х 2 150. Прямая х { + х 2 = 150 проходит через точки (150; 0) и (0; 150). Четвертое ограничение (по количеству мужских костюмов) имеет вид х 2 > 60. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая выше прямой х 2 = 60.

В результате пересечения построенных четырех полуплоскостей получаем многоугольник, который и является областью допустимых решений нашей задачи. Любая точка этого многоугольника удовлетворяет всем четырем функциональным неравенствам, а для любой точки вне этого многоугольника хотя бы одно неравенство будет нарушено.

На рис. 2.2.3 затенена область допустимых решений (ОДР). Для определения направления движения к оптимуму построим вектор- градиент V, координаты которого являются частными производными целевой функции:

Чтобы построить такой вектор, нужно соединить точку (10; 20) с началом координат. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору V. Так, на рис. 2.2.3 изображен вектор (30; 60).

Затем построим линию уровня 10xj + 20х 2 = а. Приравняем целевую функцию постоянной величине а. Меняя значение а , получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

Графический метод решения ЗЛП основан на утверждениях, приведенных в пункте 2.1. Согласно теореме 2, оптимальное решение находится в вершине области допустимых решений и поэтому решить ЗЛП – найти вершину области допустимых решений, координаты которой дают оптимальное значение целевой функции.

Графический метод используют для решения ограниченного класса задач с двумя переменными, иногда с тремя переменными. Надо заметить, что для трех переменных эта область является недостаточно наглядной.

Алгоритм графического метода решения злп

Реализацию графического метода решения ЗЛП рассмотрим на примерах.

Пример 2.2.1. Решить ЗЛП графическим методом:

(2.2.1)

max z =x 1 + 4x 2 (2.2.2)

Решение. Для построения области допустимых решений, которая состоит из пересечения полуплоскостей, соответствующих каждому неравенству системы ограничений (2.2.1), запишем уравнения граничных прямых:

l 1: x 1 + 5x 2 = 5; l 2: x 1 + x 2 = 6; l 3: 7x 1 + x 2 = 7.

l 1 к виду (2.2.3.) разделим обе его части на 5:
. Таким образом, прямаяl 1 отсекает на оси Ох 1 5 единиц, на оси Ох 2 1 единицу. Аналогично имеем для l 2:
иl 3:
.

Для определения полуплоскостей, которые отвечают ограничениям системы (2.2.1), в ограничения нужно подставить координаты какой-либо точки, не лежащей на граничной прямой. Если получим верное неравенство, то все точки из этой полуплоскости являются решениями данного неравенства. В противном случае выбирают другую полуплоскость.

Таким образом, первая и вторая искомые полуплоскости расположены в противоположную сторону от начала координат (0 – 5·0– 5; 7·0 + 07), а вторая – в сторону начала координат (0 + 06). Область допустимых решений на рисунке 2.2.1 заштрихована.

Рисунок 2.2.1 – Область допустимых решений

Для нахождения оптимального плана, который будет находиться в вершине многоугольника решений, нужно построить вектор направлений
=(с 1 ,с 2), который указывает направление наибольшего возрастания целевой функцииz =с 1 х 1 +с 2 х 2 .

В данной задаче вектор направлений
= (1, 4): он начинается в точкеО (0,0) и заканчивается в точкеN (1, 4).

Далее строим прямую, которая проходит через область допустимых решений, перпендикулярно к вектору , и называетсялинией уровня целевой функции. Передвигаем линию уровня в направлении векторав случае максимизации целевой функцииz и в направлении противоположном, в случае минимизацииz , до последнего пересечения с областью допустимых решений. В результате определяется точка или точки, где целевая функция достигает экстремального значения, или устанавливается неограниченность целевой функцииz на множестве решений задачи.

Таким образом, точкой максимума целевой функции z является точкаА пересечения прямыхl 2 иl 3 .

Для вычисления оптимального значения целевой функции z найдем координаты точки А. Поскольку точка А – это точка пересечения прямых l 2 и l 3 , то ее координаты удовлетворяют системе уравнений, составленной из уравнений соответствующих граничных прямых:

Таким образом, точка А имеет координаты x 1 =1/6, x 2 = 35/6.

Для вычисления оптимального значения целевой функции нужно подставить в нее координаты точки А.

Подставив координаты точки А в целевую функцию (2.4), получим

max z = 1/6 + 4·(35/6) = 47/2.

Пример 2.2.2. Построить на плоскости область допустимых решений системы линейных неравенств (2.2.4) и найти наибольшее и наименьшее значения целевой функции (2.2.5):

(2.2.4)

z = –2x 1 –x 2 (2.2.5)

Решение. Для построения области допустимых решений, которая состоит из пересечения полуплоскостей, соответствующих каждому неравенству системы ограничений (2.2.4), запишем уравнения граничных прямых:

l 1: 4x 1 – x 2 = 0; l 2: x 1 + 3x 2 = 6; l 3: x 1 – 3x 2 = 6; l 4: x 2 = 1.

Прямая l 1 проходит через точку с координатами (0;0). Для ее построения выразим x 2 через x 1: x 2 = 4x 1 . Найдем еще одну точку, через которую проходит прямая l 1 , например (1;4). Через точку с координатами (0;0) и точку с координатами (1;4) проведем прямую l 1 .

Для приведения уравнения прямой l 2 к виду в отрезках на осях (2.2.3) разделим обе его части на 6:
. Таким образом, прямаяl 2 отсекает на оси Ох 1 6 единиц, на оси Ох 2 - 2 единицы. Аналогично имеем для l 3:
и Прямаяl 4 параллельна оси Ох 1 и проходит через точку с координатами (0;1) .

Для определения полуплоскостей, которые отвечают ограничениям системы (2.2.4) в ограничения нужно подставить координаты какой-либо точки, не лежащей на граничной прямой. В силу ограничений х 1 0, х 2 0, область допустимых решений ЗЛП лежит в первой четверти координатной плоскости.

О
бласть допустимых решений на рисунке 2.2.2 заштрихована.

Рисунок 2.2.2 – Область допустимых решений

Построим вектор направлений
= (–2,–1). Далее строим линию уровня, перпендикулярно к вектору.

Для нахождения наибольшего значения целевой функции передвигаем линию уровня в направлении вектора до последнего пересечения с областью допустимых решений. Таким образом, точкой максимума целевой функцииz является точкаА (пересечение прямыхl 1 иl 2).

Для вычисления оптимального значения целевой функции z найдем координаты точкиА . Поскольку точкаА – это точка пересечения прямыхl 1 иl 2 , то ее координаты удовлетворяют системе уравнений, составленной из уравнений соответствующих граничных прямых:

Таким образом, точка А имеет координаты x 1 =6/13, x 2 = 24/13.

Подставив координаты точки А в целевую функцию (2.2.5), получим оптимальное значение целевой функции

max z = – 2·(6/13) – (24/13) = – 36/13.

Для нахождения наименьшего значения целевой функции передвигаем линию уровня в направлении, противоположном вектору до последнего пересечения с областью допустимых решений. В этом случае целевая функция неограниченна в области допустимых решений, т.е. ЗЛП минимума не имеет.

В результате решения ЗЛП возможны следующие случаи:

Целевая функция достигает оптимального значения в единственной вершине многоугольника решений;

Целевая функция достигает оптимальное значение в любой точке ребра многоугольника решений (ЗЛП имеет альтернативные опорные планы с одинаковыми значениями z);

ЗЛП не имеет оптимальных планов;

ЗЛП имеет оптимальный план в случае неограниченной области допустимых решений.

В линейном программировании используется графический метод, с помощью которого определяют выпуклые множества (многогранник решений). Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то целевая функция принимает значение в одной из вершин многогранника решений (см. рисунок).

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса можно в онлайн режиме решить задачу линейного программирования геометрическим методом, а также получить решение двойственной задачи (оценить оптимальность использования ресурсов). Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите количество строк (количество ограничений).

Количество ограничений 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Если количество переменных больше двух, необходимо систему привести к СЗЛП (см. пример и пример №2). Если ограничение двойное, например, 1 ≤ x 1 ≤ 4 , то оно разбивается на два: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (т.е. количество строк увеличивается на 1).
Построить область допустимого решения (ОДР) можно также с помощью этого сервиса .

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Симплексный метод решения ЗЛП

Решение транспортной задачи
Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.
Экстремум функции двух переменных
Вычисление пределов

Решение задачи линейного программирования графическим методом включает следующие этапы :

1. На плоскости X 1 0X 2 строят прямые.
2. Определяются полуплоскости.
3. Определяют многоугольник решений;
4. Строят вектор N(c 1 ,c 2), который указывает направление целевой функции;
5. Передвигают прямую целевую функцию c 1 x 2 + c 2 x 2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений.
6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

При этом могут возникать следующие ситуации:

Пример . Компания изготавливает два вида продукции - П1 и П2. Для производства продукции используются два вида сырья - С1 и С2. Оптовые цены единицы продукции равна: 5 д.е. для П1 и 4 д.е. для П2. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в таблице.
Таблица - Расход сырья на производство продукции

Установлены ограничения на спрос продукции: ежедневный объем производства продукции П2 не должен превышать ежедневный объем производства продукции П1 не более чем на 1 тонну; максимальный ежедневный объем производства П2 не должен превышать 2 т.
Требуется определить:
Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

1. Сформулировать математическую модель задачи линейного программирования.
2. Решить задачу линейного программирования графическим способом (для двух переменных).

Решение.
Сформулируем математическую модель задачи линейного программирования.
x 1 - производство продукции П1, ед.
x 2 - производство продукции П2, ед.
x 1 , x 2 ≥ 0

Ограничения по ресурсам
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6

Ограничения по спросу
x 1 +1 ≥ x 2
x 2 ≤ 2

Целевая функция
5x 1 + 4x 2 → max

Тогда получаем следующую ЗЛП:
6x 1 + 4x 2 ≤ 24
x 1 + 2x 2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x 2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x 1 + 4x 2 → max

Задача. Решить графически задачу линейного программирования, определив экстремальное значение целевой функции:

при ограничениях

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение 3x 1 +x 2 = 9 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 9. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 3. Соединяем точку (0;9) с (3;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 3 . 0 + 1 . 0 - 9 ≤ 0, т.е. 3x 1 +x 2 - 9≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x 1 +2x 2 = 8 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 4. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 8. Соединяем точку (0;4) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 . 0 + 2 . 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +2x 2 - 8≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x 1 +x 2 = 8 по двум точкам .
Для нахождения первой точки приравниваем x 1 = 0. Находим x 2 = 8. Для нахождения второй точки приравниваем x 2 = 0. Находим x 1 = 8. Соединяем точку (0;8) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 . 0 + 1 . 0 - 8 ≤ 0, т.е. x 1 +x 2 - 8≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.

Проверить правильность построения графиков функций можно с помощью калькулятора

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x 1 +6x 2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x 1 +6x 2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (4; 6). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = 4x 1 +6x 2 пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (2) , то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
3x 1 +x 2 =9
x 1 +2x 2 =8

Решив систему уравнений, получим: x 1 = 2, x 2 = 3
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*2 + 6*3 = 26